Teoria de Markowitz na prática: a fronteira eficiente da sua carteira

O que é a teoria de Markowitz

A teoria de Markowitz é o método para montar carteiras que o economista Harry Markowitz publicou em 1952 e que deu origem à teoria moderna de portfólios. Ela rendeu a ele o Nobel de Economia de 1990. A ideia central é simples: o risco de uma carteira não é a média do risco das ações que ela tem. Ele depende de como essas ações oscilam juntas.

Quando duas ações não sobem e caem ao mesmo tempo, as quedas de uma são compensadas, em parte, pelas altas da outra. Por isso, uma carteira bem combinada pode ter risco menor que o da ação menos arriscada dela. Para a teoria de Markowitz, diversificar é escolher os pesos olhando a correlação entre os ativos, e não só a quantidade de ativos.

Com o retorno esperado, a volatilidade e a correlação de cada ação, a conta encontra a fronteira eficiente: as carteiras com o maior retorno esperado para cada nível de risco. Uma delas tem o maior índice de Sharpe, o melhor retorno acima da taxa livre por unidade de risco. É essa carteira que o Otimizador da IAções usa como referência para comparar com a sua.

Como funciona a otimização de carteira

A conta de Markowitz usa três informações de cada ação e uma regra para os pesos:

• Retorno esperado: quanto você espera que a ação renda em 12 meses. É uma premissa, não um dado. No Otimizador, ele sai do seu preço-alvo.
• Volatilidade: o desvio-padrão dos retornos, em base anual. Mede quanto a ação oscila e vem do histórico de preços.
• Correlação: quanto duas ações oscilam juntas, de −1 (sempre em sentidos opostos) a 1 (sempre juntas). Também vem do histórico.
• Pesos: a fração do dinheiro em cada ação. Somam 100% e, sem venda a descoberto, nenhum peso é negativo.

As fórmulas

Retorno esperado da carteira: E = w₁·E₁ + w₂·E₂ + … + wₙ·Eₙ

Variância de uma carteira com duas ações: σ² = w₁²·σ₁² + w₂²·σ₂² + 2·w₁·w₂·ρ·σ₁·σ₂

O retorno da carteira é a média ponderada dos retornos. O risco não é: o último termo da variância depende da correlação ρ. Com ρ menor que 1, a volatilidade da carteira fica abaixo da média ponderada das volatilidades. Com mais ações, a mesma conta usa a matriz de covariância, que reúne a volatilidade de cada ação e a correlação de cada par.

Fronteira eficiente, índice de Sharpe e tangência

1. Carteira de menor risco: a combinação de menor volatilidade possível com aquelas ações.
2. Fronteira eficiente: dali para cima, a carteira de maior retorno esperado para cada nível de risco. Uma carteira abaixo da fronteira é ineficiente: existe outra que, pelas mesmas premissas, rende mais com o mesmo risco.
3. Índice de Sharpe: o retorno esperado acima da taxa livre de risco, dividido pela volatilidade.
4. Carteira de tangência: o ponto em que a reta que sai da taxa livre encosta na fronteira. É a carteira de maior índice de Sharpe, que muitos livros chamam de carteira ótima de Markowitz.

Índice de Sharpe = (E − taxa livre) ÷ σ

A reta que sai da taxa livre e passa pela tangência é a linha de alocação de capital. Os pontos dela misturam a carteira de tangência com uma aplicação de baixo risco: com uma parte em CDI, a carteira oscila menos e o retorno acima da taxa livre cai na mesma proporção, sem mudar o índice de Sharpe. A animação no topo da página mostra esses conceitos passo a passo, com ações fictícias.

Exemplo com duas ações fictícias

Para ver a conta funcionando, considere duas ações fictícias, a Ação A e a Ação B, com as premissas abaixo. A Ação A promete mais retorno e oscila mais; a Ação B oscila menos. Os números são ilustrativos e não descrevem nenhuma empresa.

O retorno esperado é premissa sua

A conta de Markowitz é exata, mas só é tão boa quanto as premissas. A mais sensível é o retorno esperado: uma diferença pequena no retorno de uma ação muda bastante o peso dela na carteira de maior Sharpe, como mostra o exemplo acima.

É comum usar a média histórica dos retornos como retorno esperado, e é aí que o modelo costuma falhar: o desempenho recente de uma ação diz pouco sobre os próximos 12 meses. O Otimizador da IAções segue outro caminho e trata o retorno esperado como premissa sua, ancorada em valuation. Para cada ação, ele usa, nesta ordem:

1. o preço-alvo que você digita ou traz no arquivo da carteira;
2. o preço-alvo da sua tese ou do seu valuation (DCF) salvos na plataforma;
3. sem nenhum dos dois, a média dos modelos de preço justo de Graham, Bazin e Gordon que se aplicam à ação.

O retorno esperado em 12 meses é a alta (ou a queda) da cotação até o preço-alvo, em porcentagem, somada aos proventos esperados no período. Antes da conta, a tela Premissas da otimização mostra cada número e deixa você trocar. Para chegar a um preço-alvo com método, use a calculadora de preço justo, a página de cada ação ou um fluxo de caixa descontado, e registre o alvo na sua tese de investimento.

Volatilidade e correlação descrevem o passado: o Otimizador usa cerca de 1 ano de preços diários. O retorno esperado olha para a frente e depende só das suas premissas. Nenhum dos três é previsão.

O Otimizador na plataforma

Na plataforma, a ferramenta fica na aba Otimizador e funciona em três passos:

1. Trazer a carteira: por foto da corretora (a IA lê os ativos da imagem), por arquivo JSON, CSV ou XLS, digitando ou a partir de uma carteira salva na aba Carteira. Entram de 2 a 20 ativos negociados em reais.
2. Premissas da otimização: confira, para cada ação, a cotação, o preço-alvo, o retorno esperado e a volatilidade, e ajuste a taxa livre e os limites mínimo e máximo de peso por ativo. Como diz a própria tela: “A conta de Markowitz sai deles; a IA só comenta o resultado.”
3. Relatório da otimização: o resumo da carteira atual contra a escolhida (retorno esperado, risco, índice de Sharpe, número efetivo de ativos e giro), o gráfico da fronteira eficiente com a reta da taxa livre, a tabela de pesos atual × escolhida, o perfil por setor e tamanho, os múltiplos e a leitura do AIrton.

No gráfico do relatório, a carteira escolhida começa na tangência. Clique em qualquer ponto da fronteira para ver os pesos dele, ou use o controle Parte em ações × CDI para colocar parte do dinheiro na taxa livre e andar sobre a reta. A fronteira e a tangência saem de uma conta exata. O Otimizador também sorteia 1 milhão de carteiras, mas só para desenhar a nuvem do gráfico.

O AIrton, a IA da plataforma, lê o resultado, aponta os preços-alvo que mais pesam nele e comenta os pontos fortes e de atenção. Ele não escolhe os pesos e pode errar. A plataforma não executa ordens: o relatório é uma referência de cálculo, não recomendação.

Use o Otimizador com uma conta grátis: o cálculo de Markowitz, a fronteira, a carteira de maior Sharpe e a tabela de pesos ficam abertos. O backtest da carteira, a exposição macro, a leitura completa do AIrton e as opções de exportar e salvar fazem parte dos planos pagos.

Quantas ações ter e o que diversifica de verdade

A dúvida mais comum sobre diversificação é quantas ações ter na carteira. A teoria de Markowitz responde com outra pergunta: quanto essas ações oscilam juntas?

• Correlação alta, pouca diversificação. Empresas do mesmo setor reagem aos mesmos fatores, como juros, preço de commodities ou regulação, e tendem a oscilar juntas. Somar mais uma ação parecida reduz pouco o risco.
• Correlação baixa, mais diversificação. Negócios que dependem de fatores diferentes, como câmbio, consumo interno ou exportação, compensam melhor as oscilações uns dos outros.
• O ganho diminui a cada ação nova. As primeiras ações de setores diferentes reduzem bastante o risco; depois, cada ação a mais tira menos risco, e o risco do mercado como um todo não desaparece.
• O peso importa tanto quanto a contagem. Uma carteira com 10 ações e metade do dinheiro em uma delas se comporta como uma carteira bem menor.

Número efetivo de ativos = 1 ÷ (w₁² + w₂² + … + wₙ²)

Com 10 ações de peso igual, o número efetivo é 10. Com metade do dinheiro em uma ação e o resto dividido entre as outras 9, ele cai para 3,6. O relatório do Otimizador mostra o número efetivo de ativos da carteira atual e da escolhida, lado a lado.

Limites e cuidados

• Sensível às premissas. Pequenas mudanças no retorno esperado mudam muito os pesos, e a carteira de maior Sharpe tende a se concentrar em poucas ações. Os limites mínimo e máximo por ativo existem para conter isso.
• Risco medido no passado. Volatilidade e correlação vêm de cerca de 1 ano de preços. Em crises, as correlações costumam subir e a diversificação diminui justamente quando mais faz falta.
• Volatilidade não é todo o risco. Ela trata alta e queda do mesmo jeito e não captura eventos raros, como uma recuperação judicial.
• Taxa livre alta. Se nenhuma combinação supera a taxa livre pelas suas premissas, não existe carteira de tangência, e o Otimizador mostra a carteira de menor risco como referência.
• Sem custos nem impostos. A conta não considera corretagem, impostos nem o custo de mudar a carteira. O relatório mostra o giro necessário para chegar à carteira escolhida.
• Backtest é ilustração. Nos planos pagos, o relatório aplica os pesos de hoje aos preços passados, inclusive ao período usado para medir o risco. Isso ilustra o comportamento da carteira, mas não prova desempenho. Veja também o backtest de carteira.
• Referência, não recomendação. O resultado é uma conta com as suas premissas e não diz o que comprar ou vender.

Glossário

Fronteira eficiente

Conjunto das carteiras com o maior retorno esperado para cada nível de risco, dadas as premissas de retorno, volatilidade e correlação dos ativos. Carteiras abaixo dela são ineficientes.

Índice de Sharpe

Retorno esperado acima da taxa livre de risco dividido pela volatilidade. Mede o retorno extra por unidade de risco; só compara carteiras com as mesmas premissas e a mesma taxa livre.

Carteira de tangência

Ponto da fronteira eficiente tocado pela reta que sai da taxa livre de risco. É a carteira de maior índice de Sharpe com aqueles ativos e aquelas premissas.

Carteira de menor risco

Combinação dos ativos com a menor volatilidade possível, também chamada de carteira de variância mínima. É o ponto de partida da fronteira eficiente.

Perguntas frequentes

Outras ferramentas

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